عنوان فعالیت: تمرین ۲ مساحت باقی‌مانده مربع ریاضی دهم انسانی
۲. از مربعی به ضلع $\mathbf{6\text{ cm}}$، سه شکل روبه‌رو بریده شده است. مساحت باقی‌مانده $\mathbf{24\text{ cm}^2}$ است. طول ضلع کوچک بریده شده چقدر است؟
اشکال بریده شده شامل: یک مربع کوچک (ضلع $\mathbf{x}$)، یک مستطیل کوچک (ابعاد $\mathbf{x}$ و $\mathbf{2x}$) و یک مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین (ساق‌های $\mathbf{\sqrt{2}x}$).
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه 21 ریاضی دهم انسانی
این یک مسئله‌ی هندسی زیبا است که نیاز به تشکیل یک **معادله درجه دوم** دارد. کلید حل، محاسبه‌ی مساحت‌های بریده شده و قرار دادن مجموع آن‌ها در معادله است.
### گام ۱: تشکیل معادله مساحت
**فرمول اصلی:** $\mathbf{\text{مساحت کل} - \text{مساحت بریده شده} = \text{مساحت باقی‌مانده}}$
1. **مساحت کل مربع:** ضلع مربع $\mathbf{6\text{ cm}}$ است.
$$\mathbf{\text{مساحت کل} = 6^2 = 36\text{ cm}^2}$$
2. **مساحت باقی‌مانده:** $\mathbf{24\text{ cm}^2}$ (طبق صورت سؤال)
3. **مساحت بریده شده:**
$$\mathbf{\text{مساحت بریده شده} = 36 - 24 = 12\text{ cm}^2}$$
### گام ۲: محاسبه مساحت اشکال بریده شده بر حسب $\mathbf{x}$
1. **مساحت مربع کوچک:** ضلع $\mathbf{x}$
$$\mathbf{A_{\text{مربع}} = x^2}$$
2. **مساحت مستطیل کوچک:** ابعاد $\mathbf{x}$ و $\mathbf{2x}$
$$\mathbf{A_{\text{مستطیل}} = x \times 2x = 2x^2}$$
3. **مساحت مثلث قائم‌الزاویه:** ساق‌ها $\mathbf{\sqrt{2}x}$. (مساحت مثلث: $\mathbf{\frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times \text{ارتفاع}}$)
$$\mathbf{A_{\text{مثلث}} = \frac{1}{2} \times (\sqrt{2}x) \times (\sqrt{2}x)}$$
$$\mathbf{A_{\text{مثلث}} = \frac{1}{2} \times (2x^2) = x^2}$$
### گام ۳: تشکیل و حل معادله
مجموع مساحت‌های بریده شده برابر $\mathbf{12\text{ cm}^2}$ است:
$$\mathbf{A_{\text{مربع}} + A_{\text{مستطیل}} + A_{\text{مثلث}} = 12}$$
$$\mathbf{x^2 + 2x^2 + x^2 = 12}$$
$$\mathbf{4x^2 = 12}$$
$$\mathbf{x^2 = \frac{12}{4} = 3}$$
$$\mathbf{x = \pm \sqrt{3}}$$
### گام ۴: نتیجه نهایی
چون $\mathbf{x}$ طول ضلع است، باید مثبت باشد ($athbf{x>0}$).
**پاسخ نهایی:** طول ضلع کوچک بریده شده $\mathbf{x}$ برابر $\mathbf{\sqrt{3}}$ سانتی‌متر است.
